中国北京大学、上海人工智能实验室（上海科学智能研究院）等机构组成的研究团队于2026年1月26日发布成果，利用人工智能系统攻克高维几何中的经典难题——“接吻数问题”，在多个维度上刷新了已知的下界纪录。相关工作以论文《Finding Kissing Numbers with Game-theoretic Reinforcement Learning》形式对外公布。

接吻数问题关注的是：在不互相重叠的前提下，同样大小的球最多能有多少个同时接触到中心的一个球。这一问题最早可追溯到1694年，由艾萨克·牛顿等人提出并讨论。随着空间维度的升高，几何结构急剧复杂化，使得解析和搜索难度成倍增加，被视为高维几何与离散数学中的重要难题之一。

用“行列表示球的配置”的AI新方法

研究团队将接吻数问题重新表述为一个关于 Gram 矩阵（内积矩阵）的补全问题，并在此基础上构建了结合博弈论与强化学习的AI系统“PackingStar”。与传统方法直接在高维空间中优化球心坐标不同，PackingStar只关注球与球之间的内积关系，并将其表示为一个矩阵，从而在降低数值不稳定性的同时，便于进行大规模并行搜索。

在 PackingStar 中，有两个协同工作的AI智能体：一个负责扩展矩阵、提出新的候选配置，另一个则从整体结构出发，对不合适的元素进行删除或修正。通过不断重复“添加—修正”的博弈式过程，系统逐步逼近更大的可行配置，也就对应着更高的接吻数。

【图：PackingStar 的 3 个阶段（模拟 → 行列初始化 → 双智能体矩阵补全博弈）的示意图】

上图展示了研究团队提出的 AI 系统 PackingStar 的整体框架：将球的几何配置转化为内积矩阵，由两个AI智能体协同对矩阵进行扩展与修正，从而在高维空间中高效探索可能的接吻配置。

25～31维：全面刷新既有下界

论文指出，在25维到31维的每一个维度上，PackingStar 都找到了优于此前最佳结果的接吻配置，成功提升了这些维度上的接吻数下界。

尤其是在25维，得到的配置呈现出与著名的高维格子——Leech 格子（Leech lattice）部分结构相对应的清晰几何模式，暗示该配置可能接近甚至达到最优结构。不过，研究团队也强调，目前尚未给出严格的数学证明，最优性仍有待后续理论工作确认。

与2011年、2016年提出的一些构造模板相比，PackingStar 找到的配置在高维度上实现了明显超越，显示出该方法在高维搜索能力上的优势。

【图：各维度接吻数的已知结果与本研究更新点】

上图中，灰色点表示此前已知的最佳下界，红色点则代表本研究通过 PackingStar 得到的新的下界，可以看到在25～31维等多个维度上出现了明显的“抬升”。

13维：时隔半个多世纪的“合理结构”新突破

在13维空间中，研究团队还对所谓“合理结构”（rational configuration）取得了重要进展。合理结构指的是：所有球之间的内积都可以用有理数表示的接吻配置。

自1971年以来，13维合理结构的最佳记录一直未被打破。本次研究中，PackingStar 找到了接吻数为 1146 的新合理结构配置，成功刷新了这一尘封已久的纪录。

目前13维接吻数的最高已知记录为 1154，对应的是非合理结构。尽管数值上略高，但合理结构由于更便于进行严格的数学分析与证明，在理论研究中具有更高的价值。因此，本次对合理结构的改进被视为在理论层面上的一项重要进展。

论文还指出，这些新构造有望为高维几何、球面码设计以及信息论等领域提供新的思路和工具。

一般化接吻数：在多维度上发现数千种新配置

除了经典的接吻数问题，研究团队还考察了“一般化接吻数”（generalized kissing number），即在改变球与球之间允许的最小夹角（或内积约束）的前提下，最多能有多少个球接触到中心球。

在这一更广义的设定下，PackingStar 同样取得了新纪录：在12维（内积约束为 1/4）、14维和17维（内积约束为 1/3）等情形中，系统都找到了优于既有结果的配置，并在这些维度上发现了数量达数千规模的新构型。

AI参与数学探索的又一典型案例

研究团队强调，PackingStar 的意义不仅在于提升了若干维度上的接吻数下界，更在于它展示了一种“系统性发现新几何结构”的AI范式：AI 不只是对已知结构做局部优化，而是能够在高维空间中主动探索、构造出此前未被人类发现的几何模式。

与此同时，如何为这些由AI找到的配置给出严格的数学证明、确认其是否真正达到最优，仍是后续需要解决的关键问题。研究者认为，这一工作为“AI + 数学”协同研究提供了新的样本，也为未来在更多高维几何与编码理论问题上引入智能搜索方法提供了参考方向。