多数人都经历过把牛奶盒或食用油瓶倾斜后，等待最后几滴液体滴出的时刻。布朗大学的研究人员近期通过数学推导与实验测量，对这一日常现象给出了可量化的时间尺度。

据发表在《Physics of Fluids》的一项研究，研究团队基于描述流体运动的纳维-斯托克斯方程，并结合实验，分析了厨房场景中常见的薄液膜在倾斜表面上的流动与排出过程，重点关注从容器中排出“最后几滴”所需的时间。

研究显示，等待时间与液体粘度差异密切相关。在容器倾斜45度的条件下，像牛奶这类低粘度液体排出薄液膜的90%大约需要30秒；而橄榄油等粘度更高的液体，要排出90%则需要更长时间，超过9分钟。

该研究由博士生托马斯·杜塔（Thomas Dutta）与布朗大学物理学教授杰伊·唐（Jay Tang）共同完成。研究缘起于唐在实验室的日常工作：其研究方向涉及细菌生物物理学，包括单细胞生物的运动以及细菌群体在潮湿表面上的扩散，这些问题都需要对流体力学有较深入的理解。为训练相关能力，杜塔与唐将目光转向更贴近日常的薄液膜流动现象。

研究团队选取了两个源自生活的具体问题：一是如何估算容器中液体“滴尽”所需时间；二是清洗铸铁炒锅后，残留水膜应等待多久再倒掉。杜塔回忆称，灵感之一来自其祖母坚持把容器中最后几滴液体挤出的习惯；而唐则长期困扰于炒锅清洗后的残水处理。

在方法上，杜塔使用纳维-斯托克斯方程中描述“粘性流动”的部分，用以刻画内部摩擦主导液体运动时的薄膜流动。他据此预测不同粘度液体沿倾斜表面流动所需时间，并通过让液体沿45度倾斜板流动的实验进行验证。研究人员通过称量流出液体的重量，确定排出90%液体所需的时间。

实验结果与理论计算大体一致，并据此给出了更广泛的时间尺度估算：例如，水达到90%排出仅需几秒钟，而冷枫糖浆可能需要数小时。

在“炒锅问题”上，研究同样围绕薄水膜在表面流动展开。唐表示，他清洗铸铁炒锅后通常避免用布擦干，以免擦掉有助于防粘的油膜，但又不希望锅体长期潮湿以避免生锈。因此，他的做法是先等待几分钟，让水膜汇集到底部后再倒掉。

研究指出，这一过程需要在“等待足够长时间让水聚集”与“避免等待过久导致水分缓慢蒸发、增加生锈风险”之间取得平衡。杜塔基于流体力学方程建立计算机模拟，估算最佳等待时间约为15分钟。唐在研究中表示，这一结果与他平时仅等待一两分钟的习惯存在差距。

研究人员称，除给出可计算的等待时间外，该项目也为其主要研究提供了训练价值：薄液膜流动相关的物理过程在其细菌生物物理学研究中同样普遍存在。